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$ \frac{d}{dx}\big(\ln(|x|)\big)=\frac{1}{x} $ when $ x\ne0 $ .

Proof

$ f(x)=\ln(|x|) $
$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h) - f(x)}{\Delta x} $
$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\ln(|x+h|)-\ln(|x|)}{h} $
$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\ln\left(\frac{|x+h|}{|x|}\right)}{h} $
$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\ln\left(\left|\frac{x+h}{x}\right|\right)}{h} $
$ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\ln\left(\left|\frac{x+h}{x}\right|\right) $
$ f'(x)=\lim_{h\to0}\ln\left(\left|\frac{x+h}{x}\right|^\frac{1}{h}\right) $
$ f'(x)=\lim_{h\to0}\ln\left(\left|1+\frac{h}{x}\right|^\frac{1}{h}\right) $

Now, by making the substitution

$ n=\frac{h}{x} $
$ \lim_{h\to0}n=\lim_{h\to0}\frac{h}{x}=0 $
$ f'(x)=\lim_{n\to0}\ln\left((1+n)^\frac{1}{nx}\right) $
$ f'(x)=\lim_{n\to0}\frac{1}{x}\ln\left((1+n)^\frac{1}{n}\right) $

One definition of Euler's number is

$ \lim_{n\to0}(1+n)^\frac{1}{n}=e $

so the expression simplifies to

$ f'(x)=\ln(e)\frac{1}{x}=\frac{1}{x} $